Последние новости
03.04.24
Предварительные результаты финального тура
05.03.24
Проведение финального тура
01.01.24
Предварительные результаты
25.12.23
Отборочный этап завершён.
18.12.23
Отборочный этап продлён по 24 декабря включительно
Назовём автоматом для голосования нечётного числа n человек логическую схему с n входами, принимающую истинное значение, когда больше половины входов принимают истинные значения, и ложное значение в противном случае.
Это очень естественное определение: если n входов представляют n человек, каждый из которых голосует либо "за" (истинное значение), либо "против" (ложное), на выходе мы получаем вариант, за который проголосовало большинство.
Докажите, что 2n элементов И и ИЛИ достаточно, чтобы построить автомат для голосования n человек (n – нечётное).
Решение данной задачи должно содержать текст доказательства. Примеры схем могут быть использованы в качестве пояснений, но отдельно засчитываться не будут.
Всего n=2m+1 входов. Разобьем их на все возможные наборы из m+1 входа. Посмотрим сколько "И" нужно для определения являются ли все эл-ты из набора из m+1 эл-та единицами. Будем разбивать на пары из различных эл-ов и брать для них "И" таким образом в первом разбиении будет (m+1)/2 "И". Снова разобьем, и снова. Будем так делать пока не останется 1 выход. Кол-во таких "И" равно m. Всего наборов (2m+1)*(2m)*(2m-1)...*m/(m+1)!. Т.е. (C из 2m+1 по m+1) * m и еще нужно (столько-же)-1 "ИЛИ". Итого всего (C из 2m+1 по m+1) * m +(C из 2m+1 по m+1)-1=(C из 2m+1 по m+1)(m+1)-1.