Последние новости
03.04.24
Предварительные результаты финального тура
05.03.24
Проведение финального тура
01.01.24
Предварительные результаты
25.12.23
Отборочный этап завершён.
18.12.23
Отборочный этап продлён по 24 декабря включительно
Назовём автоматом для голосования нечётного числа n человек логическую схему с n входами, принимающую истинное значение, когда больше половины входов принимают истинные значения, и ложное значение в противном случае.
Это очень естественное определение: если n входов представляют n человек, каждый из которых голосует либо "за" (истинное значение), либо "против" (ложное), на выходе мы получаем вариант, за который проголосовало большинство.
Докажите, что 2n элементов И и ИЛИ достаточно, чтобы построить автомат для голосования n человек (n – нечётное).
Решение данной задачи должно содержать текст доказательства. Примеры схем могут быть использованы в качестве пояснений, но отдельно засчитываться не будут.
Возьмем логическое выражение из задачи 2: Для любого n=2k+1 логическое выражение F=(P1 или P2 или P3 ....или P l) ,где P(x) есть выражение из k+1 различных входов соединенных элементом И,а l-количество комбинаций из n элементов по k+1 элемент есть результат голосования По формулам комбинаторики выражение F содержит ((1+n-1)*(n-1))/2*k =(n^2-n)/2*k элементов И Также выражение F содержит =(n^2-n)/2 -1 элементов ИЛИ Всего имеем (k+1)((n^2-n)/2)-1 элементов,преобразовав его получим: (n^3-n-4)/4 элементов Неравенство 2^n<(n^3-n-4)/4 в натуральных числах решения не имеет ,следовательно утверждение из условия доказано