Последние новости
04.09.24
Объявление
09.06.24
Результаты Олимпиады
03.04.24
Предварительные результаты финального тура
05.03.24
Проведение финального тура
01.01.24
Предварительные результаты
Назовём автоматом для голосования нечётного числа n человек логическую схему с n входами, принимающую истинное значение, когда больше половины входов принимают истинные значения, и ложное значение в противном случае.
Это очень естественное определение: если n входов представляют n человек, каждый из которых голосует либо "за" (истинное значение), либо "против" (ложное), на выходе мы получаем вариант, за который проголосовало большинство.
Докажите, что 2n элементов И и ИЛИ достаточно, чтобы построить автомат для голосования n человек (n – нечётное).
Решение данной задачи должно содержать текст доказательства. Примеры схем могут быть использованы в качестве пояснений, но отдельно засчитываться не будут.
Из решения предыдущего задания можно получить, что для каждого набора нужно (n + 1) / 2 элементов ((n - 1) / 2 - "И" и 1 - "ИЛИ"). Наборов же всего C из n по (n / 2) = n! / (((n - 1) / 2)! * ((n + 1) / 2)!) (+1 и -1, потому что n нечётно). Если домножить на число необходимых элементов, то получим, что всего необходимо n! / (((n - 1) / 2)! * ((n - 1) / 2)!) элементов. По индукции можно показать, что это не превосходит необходимой степени двойки.