Последние новости
03.04.24
Предварительные результаты финального тура
05.03.24
Проведение финального тура
01.01.24
Предварительные результаты
25.12.23
Отборочный этап завершён.
18.12.23
Отборочный этап продлён по 24 декабря включительно
Задача состоит из трёх пунктов, условия которых чуть отличаются. Каждый пункт оценивается в отдельности. Оценивается текст решения, постарайтесь представить максимально подробное обоснование.
7.1 Вдоль длинной улицы расположены дома, в каждом из которых живёт по одному человеку. Каждый из жителей улицы является сторонником одной из двух политических партий: 1 или 2. Каждый день каждый человек общается со всеми своими соседями (с одним соседом, если человек живёт в на краю улицы и с обоими соседями в остальных случаях). За ночь он обдумывает полученную от них информацию, и если оказывается, что двое его соседей являются сторонниками противоположной политической партии, к утру человек меняет свои взгляды.
Верно ли, что когда-нибудь политические взгляды жителей улицы стабилизируются?
7.2 Вокруг круглой площади расположены 2017 домов, в каждом из которых живёт по одному человеку. Каждый из жителей площади является сторонником одной из двух политических партий: 1 или 2. Каждый день каждый человек общается с обоими своими соседями. За ночь он обдумывает полученную от них информацию, и если оказывается, что оба его соседа являются сторонниками противоположной политической партии, к утру человек меняет свои взгляды.
Верно ли, что когда-нибудь политические взгляды жителей улицы стабилизируются?
7.3 Вокруг круглой площади расположены 2018 домов, в каждом из которых живёт по одному человеку. Каждый из жителей площади является сторонником одной из двух политических партий: 1 или 2. Каждый день каждый человек общается с обоими своими соседями. За ночь он обдумывает полученную от них информацию, и если оказывается, что оба его соседа являются сторонниками противоположной политической партии, к утру человек меняет свои взгляды.
Верно ли, что когда-нибудь политические взгляды жителей улицы стабилизируются?
7.1 Нет, так как существует пример 121212...1 если число домов нечетно и в конце еще 2, если число домов четно. Здесь после первой ночи все поменяют свои взгляды на противоположные, аналогично после второй и мы зациклились, т.е. их взгляды никогда не стабилизируются 7.3 Нет, т.к. существует пример, где они чередуются по порядку, т.к. 2018 - четное число. После каждой ночи они будут менять свои взгляды на противоположные, а значит никогда не стабилизируются. 7.2 Да, верно. Все они не могут чередоваться, т.к. 2017 - нечетное число. Тогда найдутся два соседних человека одинаковых политических взглядов. Не умаляя общности, пусть они за 1 полит. партию. Заметим, что никто из них никогда не поменяет свой взгляд, т.к. он за 1 и рядом с ним есть человек, который за 1. Тогда рассмотрим человека, не совпадающего с ними, но соседним с каким-то из них двоих. Тогда, если он за 1, то он также никогда не поменяет свой взгляд, если он за 2, то, либо он никогда не поменяет свой взгляд, либо он поменяет на 1 и после этого он точно не поменяет свой взгляд, т.к. с ним рядом есть человек, который всегда за 1. То есть, взгляд этого человека стабилизировался начиная с какого-то момента. Далее рассматриваем соседнего с ним человека, не совпадающего ни с кем из предыдущих рассматриваемых, после того момента, как последний рассматриваемый человек стабилизировал свой политический взгляд. Либо с этого момента взгляд нового рассматриваемого человека никогда не менялся, либо он в какой-то момент стал совпадать с взглядом предыдущего рассматриваемого человека, тогда с этого момента он точно никогда не поменяет свой взгляд, т.к. рядом с ним есть человек, который всегда такого же политического взгляда, как и он сам. Тогда и его взгляд с какого-то момента стабилизировался. Таким образом мы можем, двигаюсь в одном направлении по кругу, дойти до любого человека, то есть взгляд любого человека с какого-то момента стабилизируется, и если взять самый поздний момент из этих, то взгляд каждого с этого момента не меняется, ч.т.д.