Последние новости
03.04.24
Предварительные результаты финального тура
05.03.24
Проведение финального тура
01.01.24
Предварительные результаты
25.12.23
Отборочный этап завершён.
18.12.23
Отборочный этап продлён по 24 декабря включительно
Задача состоит из трёх пунктов, условия которых чуть отличаются. Каждый пункт оценивается в отдельности. Оценивается текст решения, постарайтесь представить максимально подробное обоснование.
7.1 Вдоль длинной улицы расположены дома, в каждом из которых живёт по одному человеку. Каждый из жителей улицы является сторонником одной из двух политических партий: 1 или 2. Каждый день каждый человек общается со всеми своими соседями (с одним соседом, если человек живёт в на краю улицы и с обоими соседями в остальных случаях). За ночь он обдумывает полученную от них информацию, и если оказывается, что двое его соседей являются сторонниками противоположной политической партии, к утру человек меняет свои взгляды.
Верно ли, что когда-нибудь политические взгляды жителей улицы стабилизируются?
7.2 Вокруг круглой площади расположены 2017 домов, в каждом из которых живёт по одному человеку. Каждый из жителей площади является сторонником одной из двух политических партий: 1 или 2. Каждый день каждый человек общается с обоими своими соседями. За ночь он обдумывает полученную от них информацию, и если оказывается, что оба его соседа являются сторонниками противоположной политической партии, к утру человек меняет свои взгляды.
Верно ли, что когда-нибудь политические взгляды жителей улицы стабилизируются?
7.3 Вокруг круглой площади расположены 2018 домов, в каждом из которых живёт по одному человеку. Каждый из жителей площади является сторонником одной из двух политических партий: 1 или 2. Каждый день каждый человек общается с обоими своими соседями. За ночь он обдумывает полученную от них информацию, и если оказывается, что оба его соседа являются сторонниками противоположной политической партии, к утру человек меняет свои взгляды.
Верно ли, что когда-нибудь политические взгляды жителей улицы стабилизируются?
Для простоты объяснений раскрасим сторонников партии "1" в красный цвет и сторонников "2" - в синий. 1) Рассмотрим крайние дома - они уже стабильны в своих взглядах и не поменяют их никогда. Начнем рассматривать всю улицу относительно самого первого крайнего дома. Так как первый дом стабилен в своих взглядах, рассмотрим второй дом. 1 случай - они одинакового цвета с первым домом: партия не поменяется никогда, так как первый дом стабилен в своих взглядах, и цвет уже не зависит от второго соседа. 2 случай - они разного цвета с первым домом, но соседи одинакового цвета: партия может поменяться максимум 1 раз, и три дома займут стабильное положение. 3 случай - они разного цвета с первым домом, но второй дом одинаковый с третьим: второй и третий дом все равно станут стабильными, так как третий дом имеет уже "синего соседа", и его цвет не зависит от четвертого и тд. Ответ: Да, верно. Цвет же правого соседа 2) Пронумеруем дома от 1 до 2017. Так как количество домов нечетно,то по принципу Дирихле можно утверждать, что на первый день сторонников одной из партии как минимум на 1 больше, чем другой. Не умаляя общности, пусть сторонников партии "1" будет больше. Из того, что домов нечетное количество и у партии "1" на одного сторонника больше, то в как минимум в одном месте и как минимум 2 сторонника партии "1" идут последовательно => эти 2 (как минимум) стабилизировались в своих взглядах. На следующий день два соседних к первоначальным также стабилизируются в своих взглядах (один из их соседей не меняет взгляды, и если второй сосед схож со взглядами с первым, то убеждения(партия) поменяются и зафиксируется, иначе - не поменяется уже, так как они сторонники одной партии). И так, через конечное число дней весь круг будет стабилен в своих взглядах. Ответ: Да, верно. 3) Пронумеруем дома от 1 до 2018. Рассмотрим такую ситуацию, когда четные дома за политическую партию "2", а нечетные - за "1". В таком случае, на следующий день все четные дома станут сторонниками политической партии "1", а нечетные - "2". На следующий день - все вернется к начальному состоянию, когда четные дома за политическую партию "2", а нечетные - за "1". И так до бесконечности. Аналогично, если же в первоначальной "раскраске" по политическим убеждениям будут пары сторонников одной партии идти подряд и тд. Это говорит о том, что существует такая "раскраска", при которой стабилизация никогда не будет достигнута. Ответ: Нет, не верно.