Последние новости
04.09.24
Объявление
09.06.24
Результаты Олимпиады
03.04.24
Предварительные результаты финального тура
05.03.24
Проведение финального тура
01.01.24
Предварительные результаты
Задача состоит из трёх пунктов, условия которых чуть отличаются. Каждый пункт оценивается в отдельности. Оценивается текст решения, постарайтесь представить максимально подробное обоснование.
7.1 Вдоль длинной улицы расположены дома, в каждом из которых живёт по одному человеку. Каждый из жителей улицы является сторонником одной из двух политических партий: 1 или 2. Каждый день каждый человек общается со всеми своими соседями (с одним соседом, если человек живёт в на краю улицы и с обоими соседями в остальных случаях). За ночь он обдумывает полученную от них информацию, и если оказывается, что двое его соседей являются сторонниками противоположной политической партии, к утру человек меняет свои взгляды.
Верно ли, что когда-нибудь политические взгляды жителей улицы стабилизируются?
7.2 Вокруг круглой площади расположены 2017 домов, в каждом из которых живёт по одному человеку. Каждый из жителей площади является сторонником одной из двух политических партий: 1 или 2. Каждый день каждый человек общается с обоими своими соседями. За ночь он обдумывает полученную от них информацию, и если оказывается, что оба его соседа являются сторонниками противоположной политической партии, к утру человек меняет свои взгляды.
Верно ли, что когда-нибудь политические взгляды жителей улицы стабилизируются?
7.3 Вокруг круглой площади расположены 2018 домов, в каждом из которых живёт по одному человеку. Каждый из жителей площади является сторонником одной из двух политических партий: 1 или 2. Каждый день каждый человек общается с обоими своими соседями. За ночь он обдумывает полученную от них информацию, и если оказывается, что оба его соседа являются сторонниками противоположной политической партии, к утру человек меняет свои взгляды.
Верно ли, что когда-нибудь политические взгляды жителей улицы стабилизируются?
7.1 Рассмотрим самого левого человека, который поменял свое мнение. Пусть он принадлежал партии 1(иначе поменяем всем партии на противоложные, что не повлияет на задачу). Заначит его соседи были 2 и 2. Т е улица выглядела так: *212*. Т к мы рассматриваем самого левого человека, который поменял свое мнение, то к утру улица выглядит так: *22*. При этом ни один человек левее не понял свое мнение. Значит левый сосед остается 2, а правый мог поменять свое мнение. Такая же ситуация происходит с самым правым человеком. Получается, что за одну ночь отпадают по одному человеку, который мог поменять свое мнение, т е номер самомого левого человека, который в след ночь поменят свое мнение может только вырасти, а номер самого правого человека, который может в след ночь поменять свое мнение только уменьшится. Однажды не будет ни одного человека, который может поменять свое мнение. Значит политические взгляды обязательно стабилизируются. 7.2 Так как количество человек нечетно, то в кругу обязательно найдутся хотя бы два рядомстоящих человека, которые из одной партии. А это значит, что эти два человека никогда не смогут поменять свое мнение, так как надо, чтобы оба соседа имели противоположное мнение. Значит мы можем разомкнуть круг между ними и сделать из круга линию, где самый первый и самый последний не могут менять свое мнение. А это условие 7.1. Значит политические взгляды обязательно стабилизируются. 7.3 Прономерум людей с любого места. Если все люди с нечетным индексом являются сторонниками одной полит партии, а все люди с четным индексом - другой политической партии, то полит взгляды жителей улицы никогда не стабилизируются. Так как у каждого человека оба соседа имеют противоположное мнение, то за ночь абсолютно все жители меняют свое мнение. На утро все сторонники 1 стали сторонниками 2, а все сторонники 2 стали сторонниками 1. Ситауция не изменилась. Каждую ночь все жители будут менять свое мнение.